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久美子教你学数学——宇治川七桥问题

第二讲 从京都宇治七桥问题谈起
经典吹学教材——黄前数学课本（一年级）

宇治七桥观光图

故事发生在21世纪的京都府宇治市。流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多。在这个美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？

宇治桥

对于这个貌似简单的问题，许多人跃跃欲试，但都没有获得成功。直到2015年，日本著名的数学家黄前才证明了这个问题的不可能性。

橘桥

黄前解决这个问题的方法非常巧妙。她认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这几座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小。因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。

七桥问题简图

所谓一笔画问题，就是从图上一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次。为了叙述方便，我们把与奇数条边相连的结点称为奇点，把与偶数条边相连的结点称为偶点。

橘岛-塔之岛连接桥

黄前发现，假设一个图可以一笔画出，则对于并非起点或终点的中间结点X，无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必须从另一条边离开X。这样与X连结的边一定成对出现，所以X必为偶点。更进一步地，假如一个图能一笔画出并回到原点，则它的每个结点所连接的边都必须成对出现，即每个点都是偶点。

观流桥

在七桥问题中存在两个奇点，因此黄前断言，这个图虽然可以一笔画出，但无法回到原点。更进一步地，黄前在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的
黄前定理：
1.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可由任意偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2.凡是只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画成。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
3.其他情况的图都不能一笔画成。

白虹桥

下面我们就来研究黄前定理的具体应用：
例1：一个吹吹人到宇治圣地巡礼。对于他列出的几种打卡计划，请说明他能否不走回头路地走遍所有打卡点。如果能，请说明能否回到出发地。
（1）京阪宇治站、平等院、十三重石塔（位于塔之岛）、宇治神社；
（2）尽可能地走遍宇治七桥，但由于时间原因将较远的白虹桥排除在外；

宇治七桥实际地理位置

例2：随着时间的推进，久美子的CP也不断发生着变化。有吹学家用“十年河东，十年河西”来概括这一现象。河东是丽奈的主场，不论是家庭住址还是大吉山都位于宇治川东岸，朝雾桥东头的宇治神社更是与久美子日常见面的地方。河西是秀一的主场。他家与久美子家的公寓都在宇治川西岸，喜撰桥更是他牵手表白的地方。

朝雾桥

喜撰桥

（1）你是否同意上述看法？请说明理由。如果不同意，请举出动画中秀久在宇治川东岸活动、高黄在宇治川西岸活动的反例。
（2）使用黄前定理回答：一个吹吹人能否在不走回头路的情况下走遍宇治七桥？如果他根据自己站的CP将喜撰桥or朝雾桥排除呢？

黄前同志及其男友

黄前同志及其女友

参考资料：
[1]仁华学校奥林匹克数学课本（小学三年级下册）
[2]宇治市观光协会官网
[3]Apple地图