#1 - 2024-2-16 13:50
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
感觉最近这个小组的打卡帖变多了。之前几天就有开个帖子的想法，一直懒得弄，今天终于意识到要想开始做这件事总之需要先挖好坑，所以先把帖子放在这里(bgm38)(bgm38)

本人目前为本科一年级数学系学生，正在学习数学系的一些最基础的课程，有极少的一点点超前学习，自认为算得上是比上不足比下有余吧……打卡内容也会以数学学习为主，不过下学期有大物，程序设计这类课程，所以完全学不了数学的日子大概也是会有的，总之学了什么打卡点什么就好了。

我的b站直播间号是31789644，假期时会不定期直播学习（只是在需要看电子版教材的时候顺便放个歌再开个直播间而已），而且“开着直播≠我在学习”，所以有时候直播间里的教材会留在一页不动，总之是很无聊的直播间，实在闲得无聊的可以去看一看……不对会来这个小组的人也不会有“实在闲得无聊”的人吧……
#2 - 2024-2-17 00:22
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
2024.2.16

今天的学习内容是我目前使用的高等代数教材的7.1节、7.2节和7.3节的前半部分，包括Euclid空间、标准正交基、正交矩阵等内容。

小小地尝试一下把今天学习内容的主要思路复述一下，看看能做成什么样子(bgm38)(bgm38)因为没怎么训练过并且想尽可能多讲些“为什么这么做”类的内容，所以大概会说得非常啰嗦(bgm38)(bgm38)(bgm38)

之前的解析几何课程中所研究的平面/空间解析几何实际上是在研究二/三维实线性空间中的向量，在此过程中向量内积是一个核心的概念。利用上一章重点研究的对称双线性函数可以将二三维实线性空间中的内积推广到一般的实线性空间中，从而定义了Euclid空间。进而参照二三维的情形可以研究Euclid空间中的长度、夹角等度量问题，其中特殊长度的向量——单位向量和特殊的夹角——正交有较高的价值。进而可以定义Euclid空间的子空间之间的正交关系，从而Euclid空间可以分解为两两相交的子空间的直和。特别地，将Euclid空间分解为它的一个子空间及其正交补的直和，那么对于Euclid空间中任一向量，取它在该组直和下的分解就可以得到它在该子空间上的内射影。这可以看作我们在解析几何中常用的“向量在直线/平面方向上的投影”的推广。在二三维空间中我们通过选取两两正交的单位向量作为基来简化问题，这一思路同样可以推广至一般实线性空间中，这就是标准正交基。在给定一组任意基的前提下，我们得到了由这组基构造出一组标准正交基的方法，即Schmidt正交化。接下来所研究的问题是不同标准正交基之间的关系。假设两组标准正交基之间的过渡矩阵为T，由内积在这两组基下的度量矩阵的关系得到了T'T＝I，从而引入了正交矩阵这一概念。目前就看到这，后面还没看(bgm38)(bgm38)(bgm38)
#3 - 2024-2-18 00:13
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
2024.2.17

今天学习的内容是高等代数7.3节的后半部分和7.4节。主要内容是正交变换和正规变换。

在7.3节的前半部分通过两组标准正交基之间的过渡矩阵引入了正交矩阵的概念，这启示我们将正交矩阵视为Euclid空间上的线性变换来进行研究，这就是正交变换。容易注意到正交变换的行列式一定为1或-1，由此可以将正交变换分类为第一类和第二类。
接下来的研究思路和此前Jordan标准形的研究思路相似，即将线性空间（此处为Euclid空间）分解成线性变换（此处为正交变换）的不变子空间的直和，反映在矩阵上表现为构造可逆矩阵T（此处为正交矩阵）使得原矩阵相似（此处定义了正交相似）于具有统一形式的准对角矩阵（标准形）。由于Euclid空间是实线性空间，由多项式知识可以知道正交变换的非平凡不变子空间只能是一维或二维。一维的正交矩阵显然只能是1或-1，二维的正交矩阵也很容易计算验证均有相同的形式，因此正交变换的标准形就是由1，-1和这些二维正交矩阵组成的准对角矩阵。
在对正交变换的研究中，用到的一个核心性质是其不变子空间的正交补仍是其不变子空间。对于线性变换而言，这是一个稍弱于正交的条件。通过定义共轭变换，我们得到了一类满足上述条件的线性变换，即满足自身与其共轭变换可交换的线性变换，称为正规变换。取正规变换在标准正交基下的矩阵，就得到了正规矩阵，即自身与其转置可交换的矩阵。于是我们熟悉的对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵都是正规矩阵的特殊情形。于是利用类似于正交矩阵的方法，就可以对正规变换实现类似于正交变换的不变子空间分解，对正规矩阵实现类似于正交矩阵的准对角化。最后，将这种处理反过来运用在实对称矩阵上，可以得到对称矩阵在正交相似下的标准形，进而将我们利用矩阵所研究的两套理论：线性变换和二次型联系在一起，得到实对称矩阵正定的另一等价条件——特征值均大于零。
#4 - 2024-2-18 22:26
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
2024.2.18

今天有些跟学习无关的安排所以学的比较少，是高等代数的7.5节，主要内容为酉空间。

本节主要是类比前几节的内容，将前几节对Euclid空间的研究推广到了复线性空间中。最初定义Euclid空间时用到的是内积，为了保证复线性空间中内积的正定性，引入Hermite型和Hermite二次型。利用Hermite二次型定义了内积的复线性空间即为酉空间。进一步可以定义酉空间中向量的长度、夹角等。酉空间中的正交依然是一个重要概念，由此可以得到酉空间的标准正交基。仍然研究线性变换，不同线性正交基之间的过渡矩阵为酉矩阵（此处类比正交矩阵相关内容），进而行列式为1的酉矩阵称为特殊酉矩阵。类比Euclid空间，我们同样需要考虑满足“其不变子空间的正交补仍是其不变子空间”的线性变换，由此可定义类似的共轭变换、正规变换等。在复数域上这样的不变子空间分解会更加简单，不变子空间均为一维，从而线性变换在酉相似下的标准形一定是对角矩阵。最后，类比我们提到过的Euclid空间上的三种特殊正规变换：正交变换、对称变换和反对称变换，我们也可以得到由空间上的三种特殊正规变换：酉变换、Hermite变换和反Hermite变换。它们都有各自关于特征值的结论。

从明天起，开学前的这最后一个星期继续学习抽象代数。使用的教材是Dummit and Foote的Abstract Algebra，之前看过了第一章，明天先把第一章剩下的一点习题完成（别问我为什么之前没做完然后又隔了这么多天才回来继续，我也不知道......），然后从第二章开始继续。
#5 - 2024-2-20 00:28
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
2024.2.19

不该看完隔这么多天才做题的……虽然主干知识还记得，但好几个习题用到的非主干的东西还得回到正文去找，再加上今天摆烂的时间略长，解决之前留下的习题就花了好久……(bgm38)(bgm38)

于是新内容只看了一下2.1节关于Subgroup的基本定义和一些例子，以及一个基本的结论。

明天再继续努力吧……（躺倒）
#6 - 2024-2-20 00:32
yuina (奇迹和魔法都是存在的)
虽然看不懂但不明觉厉(bgm61)
感觉这样每天把自己学习的内容大致总结一遍也有助于复习，向lz学习
#7 - 2024-2-20 23:48
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
2024.2.20

悲报：今天摆了，总共就看了两眼书，进度大概可以认为是epsilon，约等于没看(bgm38)(bgm38)

回头看一眼，发现我在2024-2-20 00:28发表了明天再继续努力吧的宣言，所以明天就成了2024-2-21，嗯，一定是这样的（嘴硬）(bgm38)(bgm38)

总之，现在是2024-2-20 23:48，这次明天一定要努力！(bgm38)(bgm38)
#8 - 2024-2-25 11:56
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
2024.2.21-2.24
快开学了所以前几天有一些各种各样的事情，再加上快开学导致的惰性（其实这才是主要因素…），导致这几天都是龟速推进进度，所以攒了几天一次性报告……

前几天完成的是Abstract Algebra第二章Subgroup的前三节内容和前两节习题，2.1节首先引入了Subgroup的概念和判定方法，2.2节主要讲的是对一个确定的群，引入了一系列具有较好性质的子群，包括Centralizers, Normalizers, Stabilizers and Kernels of Group Actions，这些子群之间又存在一些联系。2.3节围绕subgroups generated by one generator展开，这种子群称为Cyclic group。这节证明了一系列看似浅显实则环环相扣的命题，最终得到了cyclic group的complete subgroup structure。
#9 - 2024-2-28 11:15
知秋 (与过去和未来的自己和解。)
2.25-2.27

开学了，这学期课一堆，还得慢慢找找节奏。

目前进度到了2.4节的习题。2.4节的主要内容是Subgroups generated by subsets of a group，一定程度上可以看作是上一节中生成子群方式的推广。

开学后感觉除了周末这类的时间以外时间都比较零碎，考虑把打卡方式改一改…